高一上冊(cè)數(shù)學(xué)函數(shù)模型及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)
時(shí)間：2016-10-20 16:27:00 來源：無憂考網(wǎng) [字體：小 中 大]
1.抽象概括：研究實(shí)際問題中量，確定變量之間的主、被動(dòng)關(guān)系，并用x、y分別表示問題中的變量;
2.建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù) 的解析式;
3.求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問題的解.
這些步驟用框圖表示是：
例1.如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b
解：設(shè)四邊形EFGH的面積為S，
則S△AEH=S△CFG= x2,
S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x)，
∴S=ab-2[ 2+ (a-x)(b-x)]
=-2x2+(a+b)x=-2(x- 2+
由圖形知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0
又0
則當(dāng)x= 時(shí)，S有值 ;
若 >b,即a>3b時(shí)，
S(x)在(0,b]上是增函數(shù)，
此時(shí)當(dāng)x=b時(shí)，S有值為
-2(b- )2+ =ab-b2,
綜上可知，當(dāng)a≤3b時(shí)，x= 時(shí)，
四邊形面積Smax= ,
當(dāng)a>3b時(shí)，x=b時(shí)，四邊形面積Smax=ab-b2.
變式訓(xùn)練1：某商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的某種商品按10元一個(gè)銷售時(shí)，每天可賣出100個(gè)，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)，已知這種商品銷售單價(jià)每漲1元，銷售量就減少10個(gè)，問他將售價(jià)每個(gè)定為多少元時(shí)，才能使 每天所賺的利潤(rùn)?并求出值.
解：設(shè)每個(gè)提價(jià)為x元(x≥0)，利潤(rùn)為y元，每天銷售總額為(10+x)(100-10x)元，
進(jìn)貨總額為8(100-10x)元，
顯然100-10x>0,即x<10,
則y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x<10).
當(dāng)x=4時(shí)，y取得值，此時(shí)銷售單價(jià)應(yīng)為14元，利潤(rùn)為360元.
例2.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度
v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點(diǎn)T(t，0)作橫軸
的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).(1)當(dāng)t=4時(shí)，求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這
場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將
侵襲到N城?如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由.
解：(1)由圖象可知：
當(dāng)t=4時(shí)，v=3×4=12,
∴s= ×4×12=24.
(2)當(dāng)0≤t≤10時(shí)，s= •t•3t= t2，
當(dāng)10
當(dāng)20
綜上可知s=
(3)∵t∈[0，10]時(shí)，smax= ×102=150<650.
t∈(10，20]時(shí)，smax=30×20-150=450<650.
∴當(dāng)t∈(20，35]時(shí)，令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,∵20
∴t=30，所以沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城.
變式訓(xùn)練2：某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺(tái) ，
需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái)，銷售的收入函 數(shù)為R(x)=5x- (萬元)(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺(tái)).
(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù);
(2)年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠所得利潤(rùn)?
(3)年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠才不虧本?
解：(1)當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能售出x百臺(tái);
當(dāng)x>5時(shí)，只能售出5 百臺(tái)，
故利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)=R(x)-C(x)
=
(2)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，L(x)=4.75x- -0.5，
當(dāng)x=4.75時(shí)，L(x)max=10.78125萬元.
當(dāng)x>5時(shí)，L(x)=12-0.25x為減函數(shù)，
此時(shí)L(x)<10.75(萬元).∴生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)利潤(rùn).
(3)由
得x≥4.75- =0.1(百臺(tái))或x<48(百臺(tái)).
∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺(tái)至4800臺(tái)時(shí)，工廠不虧本.
2.建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù) 的解析式;
3.求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問題的解.
這些步驟用框圖表示是：
例1.如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b
解：設(shè)四邊形EFGH的面積為S，
則S△AEH=S△CFG= x2,
S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x)，
∴S=ab-2[ 2+ (a-x)(b-x)]
=-2x2+(a+b)x=-2(x- 2+
由圖形知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0
又0
則當(dāng)x= 時(shí)，S有值 ;
若 >b,即a>3b時(shí)，
S(x)在(0,b]上是增函數(shù)，
此時(shí)當(dāng)x=b時(shí)，S有值為
-2(b- )2+ =ab-b2,
綜上可知，當(dāng)a≤3b時(shí)，x= 時(shí)，
四邊形面積Smax= ,
當(dāng)a>3b時(shí)，x=b時(shí)，四邊形面積Smax=ab-b2.
變式訓(xùn)練1：某商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的某種商品按10元一個(gè)銷售時(shí)，每天可賣出100個(gè)，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)，已知這種商品銷售單價(jià)每漲1元，銷售量就減少10個(gè)，問他將售價(jià)每個(gè)定為多少元時(shí)，才能使 每天所賺的利潤(rùn)?并求出值.
解：設(shè)每個(gè)提價(jià)為x元(x≥0)，利潤(rùn)為y元，每天銷售總額為(10+x)(100-10x)元，
進(jìn)貨總額為8(100-10x)元，
顯然100-10x>0,即x<10,
則y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x<10).
當(dāng)x=4時(shí)，y取得值，此時(shí)銷售單價(jià)應(yīng)為14元，利潤(rùn)為360元.
例2.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度
v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點(diǎn)T(t，0)作橫軸
的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).(1)當(dāng)t=4時(shí)，求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這
場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將
侵襲到N城?如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由.
解：(1)由圖象可知：
當(dāng)t=4時(shí)，v=3×4=12,
∴s= ×4×12=24.
(2)當(dāng)0≤t≤10時(shí)，s= •t•3t= t2，
當(dāng)10
當(dāng)20
綜上可知s=
(3)∵t∈[0，10]時(shí)，smax= ×102=150<650.
t∈(10，20]時(shí)，smax=30×20-150=450<650.
∴當(dāng)t∈(20，35]時(shí)，令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,∵20
∴t=30，所以沙塵暴發(fā)生30h后將侵襲到N城.
變式訓(xùn)練2：某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺(tái) ，
需要加可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái)，銷售的收入函 數(shù)為R(x)=5x- (萬元)(0≤x≤5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺(tái)).
(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù);
(2)年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠所得利潤(rùn)?
(3)年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠才不虧本?
解：(1)當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能售出x百臺(tái);
當(dāng)x>5時(shí)，只能售出5 百臺(tái)，
故利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)=R(x)-C(x)
=
(2)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，L(x)=4.75x- -0.5，
當(dāng)x=4.75時(shí)，L(x)max=10.78125萬元.
當(dāng)x>5時(shí)，L(x)=12-0.25x為減函數(shù)，
此時(shí)L(x)<10.75(萬元).∴生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)利潤(rùn).
(3)由
得x≥4.75- =0.1(百臺(tái))或x<48(百臺(tái)).
∴產(chǎn)品年產(chǎn)量在10臺(tái)至4800臺(tái)時(shí)，工廠不虧本.
